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たけぼうの誰でも出来る米国株投資

平成生まれのサラリーマンが、米国株投資で豊かになれるか実践していきます。目標はアーリーリタイアです。

対数正規分府を用いたシミュレーション

◇将来の資産額の確率を導く
株価は、リターンが正規分布に従う時、対数正規分布に従います。
対数正規分布から、元本割れする確率や、期待リターンの最頻値がわかります。
下記サイトでシミュレーションができます。
http://guide.fund-no-umi.com/tools/aa.html

◇よくある間違い
マイインデックスからリターンを引っ張ってきて、積立シミュレーションをすると、
色々な確率が出てきます。
http://myindex.jp/

例えばMSCIコクサイ(円ベース)は期待リターン6.8%、標準偏差19.5(20年の値)なので
期待リターン6.8%、標準偏差19.5、運用期間20年としてシュミレーションすると、

最頻値:139.4万円(年率3.0%)
期待値通りになる確率:34.3%
元本割れ確率:11.1%

となりました。

ちなみに、20年前にMSCIコクサイに投資したら100万円投資したら374万円(年率:6.8%)になっています。
我々の次元ではたまたま34.3%の幸運を手に入れたのでしょうか?
これから期待リターンが小さくなるのでしょうか?
しかし、シーゲル教授の分析によると、20年,30年という期間で見たとき、
どこをとっても6~7%だったそうです。これはインフレ調整後のリターンです。
歴史を紐解くと最頻値は6%以上のはずです。
理論は机上の空論で実際とは乖離してしまうのでしょうか?

対数正規分布正規分布の関係をもう一度確認

対数正規分布Λ(μ, σ2)に従う確率変数X の対数関数をとったときに、
新たな確率変数Y=lnX が正規分布N(μ, σ2)に従うことに由来する。

平均uは相加平均です。
一方の一般的に言われる期待リターンは相乗平均です。
相加・相乗平均は以下の関係があります。

相加平均≧相乗平均
相加平均 = 相乗平均となるのは
全ての項が同一の時。

つまり、対数正規分布シミュレーションで入力すべき期待リターンは
リターンの相加平均となります。

製作者様のブログにも期待リターン= 算術平均(相加平均)と書かれています。
数学的にも期待リターンは相加平均で、過去の実績は相乗平均です。

◇正しく計算しなおすと
MSCIコクサイの過去20年の平均リターンは11.65%です。標準偏差は19.5のままです。
計算すると、
最頻値:365万円(年率6.8%)
元本割れ確率:0.7%

最頻値が実際の値とかなり近くなりました。
我々の次元は幸運な31.7%の世界ではなく、
高い確率で起きるありふれた次元でした。
(上位80%の確率範囲に入ります。)

新興国には過剰投資しない方が確率的にも有利である
株式投資の未来」において成長の罠に陥らない事の重要性が説かれています。

実際に、新興国株の割合を増やすと、最頻値のリターンが小さくなります。
MSCIエマージングの過去20年間の平均リターンは13.67%で、標準偏差は26です。
先進国株と新興国株の割合を半々にして、相関係数をデフォルトの0.91にします。

最頻値:343.3万円(年率6.4%)
元本割れ確率:1.1%

実際、20年前に50万円ずつ投資していると、341万円(年率5.8%)です。
実際の値ともかなり近いです。
しかし、先進国のみに投資した方がリターンは良いです。

◇なぜ、新興国株はリターンが低くなるのか?
標準偏差が大きいためです。
相加平均 = 相乗平均となるのは全ての項が同一である時、
つまり、標準偏差が0の時です。
新興国株の平均リターンは確かに先進国株に勝ります。
しかし、標準偏差の大きさから、相乗平均では劣ってしまうのです。

◇まとめ
実際のリターンは相乗平均で表されます。
という事は、数学的に、長期投資で最も勝つ可能性が高い手法は、
低ボラリティ(標準偏差)、高リターン戦略になります。
リターンはキャピタルゲイン+インカムゲインですが、
キャピタルゲインは予想できません。
なので、現実的な戦略として、
低ボラリティ、高配当戦略が最適解と言えそうです。
シーゲル教授が言った通りになりました。

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